Question

4．在△ABC中，点D满足$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{DC}$，当E点在线段AD上移动时，若$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则t=（λ-1）²+μ²的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据条件容易得到点D为边BC的中点，从而$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，而E为AD上的点，从而有$\overrightarrow{AE}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{2}\overrightarrow{AC}$，且0≤k≤1，而根据$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$便可得到λ=μ，并且$0≤μ≤\frac{1}{2}$，λ=μ带入t=（λ-1）²+μ²并配方便可得出t的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$；
∴D为边BC的中点，如图，

则：$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
∵E在线段AD上；
∴设$\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AD}=\frac{k}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{2}\overrightarrow{AC}$，0≤k≤1；
又$\overrightarrow{AE}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{k}{2}}\\{μ=\frac{k}{2}}\end{array}\right.$；
即λ=μ，且$0≤μ≤\frac{1}{2}$；
∴t=（μ-1）²+μ²
=μ²-2μ+1+μ²
=$2（μ-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{2}$；
∴$μ=\frac{1}{2}$时，t取最小值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 考查向量相等的概念，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量数乘的几何意义，以及平面向量基本定理，配方法求二次函数的最值．