Question

2．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n=-$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n-1}}+1}$（n≥2，且n∈N^*），若{a_n}的前n项和为S_n，则使得S_n＞2016的最小n值是3023．

Answer 1

分析 通过计算确定数列{a_n}是以2为周期的周期数列，进而分两种情况解不等式即得结论．

解答 解：∵a_n=-$\frac{1}{\frac{1}{{a}_{n-1}}+1}$（n≥2，且n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$-1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$=-1-$\frac{1}{{a}_{1}}$=-$\frac{3}{2}$，即a₂=-$\frac{2}{3}$，
$\frac{1}{{a}_{3}}$=-1-$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，即a₃=2，
…
∴数列{a_n}是以2为周期的周期数列，
又∵a₁+a₂=2-$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}n+\frac{4}{3}，}&{n为奇数}\\{\frac{2}{3}n，}&{n为偶数}\end{array}\right.$，
当n为奇数时，S_n＞2016即$\frac{2}{3}$n+$\frac{4}{3}$＞2016，
解得：n＞3022；
当n为偶数时，S_n＞2016即$\frac{2}{3}$n＞2016，
解得：n＞3024；
综上所述，使得S_n＞2016的最小n值是3023，
故答案为：3023．

点评 本题考查数列的通项，找出周期是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．