Question

17．已知函数f（x）=3x²-2ax+3（a为常数），命题p：y=f（x）有两个不同的零点；命题q：f（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立．若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析 若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则命题p，q一真一假，进而可得a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=3x²-2ax+3，
若命题p：y=f（x）有两个不同的零点为真命题，
则△=4a²-36＞0，
解得：a＜-3，或a＞3；
若命题q：f（x）≥0在区间（0，+∞）上恒成立为真命题，
则对称轴x=$\frac{a}{3}≤0$，
解得：a≤0，
若“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则命题p，q一真一假，
当p真q假时，a＞3；
当p假q值时，-3≤a≤0，
综上可得：-3≤a≤0，或a＞3；

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数零点的存在性及个数判断，函数恒成立问题，难度中档．