题目内容
已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝mx－
(m为实数)．
(1)求曲线y＝f(x)在点P(
)，f(
)处的切线方程；
(2)求函数g(x)的单调递减区间；
(3)若m＝1，证明：当x>0时，f(x)<g(x)＋
.
（1）x－
y＋1－
＝0
（2）则g(x)的单调递减区间是(－∞，－
)，(
，＋∞)．
（3）见解析
【解析】【解析】
(1)由题意得所求切线的斜率k＝f′(
)＝cos
＝
.
切点P(
，
)，则切线方程为y－
＝
(x－
)，
即x－y＋1－＝0.
(2)g′(x)＝m－
x2.
①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；
②当m>0时，令g′(x)<0，解得x<－
或x>
，
则g(x)的单调递减区间是(－∞，－)，(，＋∞)．
(3)证明：当m＝1时，g(x)＝x－
.
令h(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，
则h(x)是[0，＋∞)上的增函数．
故当x>0时，h(x)>h(0)＝0，即sinx<x，f(x)<g(x)＋
.
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