Question

11．已知数列{a_n}对任意的自然数n满足：a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ-1．
（Ⅰ）求a₁及通项a_n；
（Ⅱ）设数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1可知a₁=1，当n≥2时利用${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}={2^n}-1$与${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_{n-1}}={2^{n-1}}-1，\;（n≥2）$作差，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知$\frac{1}{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，进而利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，
∵${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+n{a_n}={2^n}-1$
∴${a_1}+2{a_2}+3{a_3}+…+（n-1）{a_{n-1}}={2^{n-1}}-1，\;（n≥2）$
两式相减，得：$n{a_n}={2^{n-1}}$，∴${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n}$，（n≥2）；
又a₁=1适合上式，故：${a_n}=\frac{{{2^{n-1}}}}{n}$． …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：$\frac{1}{a_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
所以${S_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
$\frac{1}{2}{S_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}{S_n}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$=$2（1-\frac{1}{2^n}）-\frac{n}{2^n}$，
∴${S_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．  …（15分）

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．