Question

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点共线且满足$\overrightarrow{OC}$=（a²-2a+$\frac{4}{3}$）$\overrightarrow{OA}$+（b²+$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{OB}$（a，b∈R）．
（1）求a，b的值；
（2）求$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量共线的性质得到a，b的关系，求出a，b；
（2）利用（1）是结论，将所求的向量分别利用向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$表示．

解答 解：（1）因为A、B、C三点共线且满足$\overrightarrow{OC}$=（a²-2a+$\frac{4}{3}$）$\overrightarrow{OA}$+（b²+$\frac{2}{3}$）$\overrightarrow{OB}$（a，b∈R）．
所以（a²-2a+$\frac{4}{3}$）+（b²+$\frac{2}{3}$）=1，整理得，（a-1）²+b²=0，所以a=1，b=0．
（2）由（1）得$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．所以$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$，$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$=$\frac{1}{3}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$，
所以$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{CB}|}$=2．

点评 本题考查了平面向量共线的基本道理的运用以及向量的运算．