Question

已知函数，函数的导函数，且，其中为自然对数的底数．

（1）求的极值；

（2）若，使得不等式成立，试求实数的取值范围；

（3）当时，对于，求证：．

 

Answer 1

【答案】

(1)当时，没有极值；

当时，存在极大值，且当时，.

(2).

(3)见解析.

【解析】

试题分析：(1) 首先确定函数的定义域为，求导数．为确定函数的极值，应讨论，的不同情况.

(2) 首先求出，将问题转化成，使得成立，

引入，将问题可转化为：

利用导数求的最大值，得解.

(3)当时，，构造函数，即，

应用导数研究函数的单调性、极值，得到.

方法比较明确，分类讨论、转化与化归思想的应用，是解决问题的关键.

试题解析：(1) 函数的定义域为，．

当时，，在上为增函数，没有极值； 1分

当时，，

若时，；若时，

存在极大值，且当时，

综上可知：当时，没有极值；当时，存在极大值，且当时， 4分

(2) 函数的导函数，

，， 5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，则问题可转化为：

对于，，由于，

当时，，，，

，从而在上为减函数，

9分

(3)当时，，令，则，

，且在上为增函数

设的根为，则，即

当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数，

，，

由于在上为增函数，

14分

考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，应用导数证明不等式.