Question

已知f(x)=2sin(x+

π

3

)，
①若向量

m

=(cos

x

2

，

3

cos

x

2

)，

n

=(-cos

x

2

，sin

x

2

)．且

m

∥

n

，求f（x）的值；
②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：①利用向量共线的充要条件，可求x的值，从而可求f（x）的值；
②利用余弦定理求出B的值，确定出

π

3

＜A+

π

3

＜π，然后求出函数f（A）的取值范围．

解答：解：①由

m

∥

n

，得cos

x

2

sin

x

2

=-

3

cos

x

2

cos

x

2

，∴cos

x

2

=0或tan

x

2

=-

3

，∴x=2kπ+π或x=2kπ-

2π

3

(k∈Z)，∴f(x)=-

3

②∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，B=

π

3

，∴0＜A＜

2π

3

．∴

π

3

＜A+

π

3

＜π，0＜sin（A+

π

3

）≤1．
又∵f(x)=2sin(x+

π

3

)，∴故函数f（A）的取值范围是（0，2]．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查向量共线的充要条件．