Question

4．设目标函数z=x+ay的可行域是△ABC的内部及边界，其中A（1，0），B（3，1），C（2，3）．若目标函数取得最小值的最优解有无穷多个，则a=-2．

Answer 1

分析 由题设条件，目标函数z=x+ay，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，讨论a的符号以及直线截距和z的关系，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域：
若a=0，则z=x，平移直线z=x，则当直线x=z经过A时，取得最小值，此时最小值只有一个，不满足条件．
由z=x+ay得y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
若a＞0，则目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，
平移直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$经过A时，直线的截距最小，z最小，此时目标函数取得最小值时最优解只有一个，不满足条件．
若a＜0，则目标函数的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
平移直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$和AC平行时，直线的截距最大，z最小，此时目标函数取得最小值时最优解有无数个，满足条件．
k_AC=$\frac{1-0}{3-1}$=$\frac{1}{2}$，
由-$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{2}$得a=-2，
故答案为：-2．

点评 本题考查线性规划最优解的判定，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解是解决本题的关键．