Question

11．若f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，则f（x-1）＜$\frac{{e}^{2}+1}{e}$的解集为（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （0，2）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+ae^-x为偶函数，∴f（-x）=e^-x+a•e^x=f（x）=e^x+ae^-x，∴a=1，
∴f（x）=e^x+e^-x ，在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，
则由f（x-1）＜$\frac{{e}^{2}+1}{e}$=e+$\frac{1}{e}$，∴-1＜x-1＜1，
求得0＜x＜2，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a的值是解决本题的关键，属于基础题．