Question

(2006江西，21)如图所示，椭圆(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点．

(1)求点P的轨迹H的方程；

(2)若在Q的方程中，令，．确定θ的值，使原点距椭圆Q的右准线l最远．此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，△ABD的面积最大?

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)设椭圆上的点、，又设P点坐标为P(x，y)， 则 (i)当AB不垂直x轴时，， 由①－②得 ． ∴， ∴　　（*） (ii)当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（*）， 故所求点P的轨迹H的方程为． (2)因为椭圆Q右准线l方程是，原点距椭圆Q的右准线l的距离为，由于，，． 则． 当时，上式达到最大值，所以当时，原点距椭圆Q的右准线l最远．此时，，c=1，D(2，0)，|DF|=1． 设椭圆上的点、， △ABD面积． 设直线m的方程为x=ky＋1，代入中， 得． 由韦达定理得， ，， 令，得，当t=1，即k=0时取等号． 因此，当直线m绕点F转动到垂直x轴位置时，三角形ABD的面积最大．