Question

4．已知函数$f（x）=4x+\frac{a^2}{x}（{x＞0\;，\;\;x∈R}）$在x=2时取得最小值，则实数a=4．

Answer 1

分析 方法一：根据基本不等式的性质，即可求得a的值；
方法二：由对勾函数f（x）=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，x＞0，a²＞0，当x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$时，取最小值，则$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$=2，即可求得a的值．

解答 解：方法一：由题意可知：x＞0，a²＞0，∴f（x）=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$≥2$\sqrt{4x×\frac{{a}^{2}}{x}}$=4a，
当且仅当4x=$\frac{{a}^{2}}{x}$，即x=$\frac{a}{2}$时取等号，
又∵f（x）在x=2时取得最小值，
∴$\frac{a}{2}$=2，解得a=4，
故答案为：4．
方法二：由对勾函数f（x）=4x+$\frac{{a}^{2}}{x}$，x＞0，a²＞0，当x=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$时，取最小值，则$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}}$=2，
∴a=4，
故答案为：4．

点评 本题考查对勾函数的性质，基本不等式的应用，考查转化思想，属于基础题．