Question

16．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=ax^b（a，b为大于0的常数）．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸（mm）	38	48	58	68	78	88
质量（g）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表：

$\sum_{i=1}^6{（{ln{x_i}•ln{y_i}}）}$	$\sum_{i=1}^6{（{ln{x_i}}）}$	$\sum_{i=1}^6{（{ln{y_i}}）}$	${\sum_{i=1}^6{{{（{ln{x_i}}）}^2}}^{\;}}$
75.3	24.6	18.3	101.4

（Ⅰ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅱ）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间（${\frac{e}{9}$，$\frac{e}{7}}$）内时为优等品．现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望．
附：对于一组数据（v₁，u₁），（v₂，u₂），…，（v_n，u_n），其回归直线u=α+βv的斜率和截距的最小二乘估计分别为$\widehat{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{v}_{i}{μ}_{i}-n\overline{v}•\overline{u}}{\sum_{i=1}^{n}{v}_{i}^{2}-n{\overline{v}}^{2}}$，$\widehat{α}$=$\overline{u}$-$\widehat{β}$$\overline{v}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）对y=ax^b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，令v_i=lnx_i，u_i=lny_i得u=bv+lna，由最小二乘法求得系数$\widehat{b}$及$\widehat{a}$，即可求得y关于x的回归方程；
（Ⅱ）由题意求得优等品的个数，求得随机变量ξ取值，分别求得P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2）及P（ξ=3），求得其分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）对y=ax^b（a，b＞0）两边取科学对数得lny=blnx+lna，
令v_i=lnx_i，u_i=lny_i得u=bv+lna，
由$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{v_i}{u_i}-n\overline v\overline u}}}{{\sum_{i=1}^n{{v_i}^2-n{{\overline v}^2}}}}$=$\frac{1}{2}$，
ln$\widehat{a}$=1，$\widehat{a}$=e，
故所求回归方程为$y=e{x^{\frac{1}{2}}}$．
（Ⅱ）由$\frac{y}{x}=\frac{{e{x^{\frac{1}{2}}}}}{x}=\frac{e}{{{x^{\frac{1}{2}}}}}∈（{\frac{e}{9}，\frac{e}{7}}）⇒49＜x＜81$，
x=58，68，78，即优等品有3件，
ξ的可能取值是0，1，2，3，且$P（{ξ=0}）=\frac{C_3^0•C_3^3}{C_6^3}=\frac{1}{20}$，
$P（{ξ=1}）=\frac{C_3^1•C_3^2}{C_6^3}=\frac{9}{20}$，
$P（{ξ=2}）=\frac{C_3^2•C_3^1}{C_6^3}=\frac{9}{20}$，
$P（{ξ=3}）=\frac{C_3^3•C_3^0}{C_6^3}=\frac{1}{20}$．
其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{1}{20}$

∴$Eξ=0×\frac{1}{20}+1×\frac{9}{20}+2×\frac{9}{20}+3×\frac{1}{20}=\frac{3}{2}$．

点评 本题考查求线性回归方程，样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，属于中档题．