Question

13．如图：A，B，C是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的顶点，点F（c，0）为椭圆的右焦点，离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆过点$（{2\sqrt{3}，1}）$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE．设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为k₁，证明：$2{k_1}=k+\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）由题意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{12}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²．联立解得即可得出椭圆方程．
（Ⅱ）由截距式可得直线BC的方程为：y=$\frac{1}{2}$x+2．直线AP的方程为：y=k（x-4），与椭圆方程联立可得：（4k²+1）x²-32k²x+64k²-16=0，又点P在椭圆上，利用根与系数的关系可得P$（\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}，\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}）$．利用斜率计算公式可得k_CP，可得直线CP的方程，可得E$（\frac{8k-4}{2k+1}，0）$．把直线BC与AP的方程联立可得D$（\frac{8k+4}{2k-1}，\frac{8k}{2k-1}）$．可得直线DE的斜率，化简整理即可证明．

解答 解：（I）由题意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{12}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²．
联立解得a²=16，b²=4，
∴椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
证明：（Ⅱ）A（4，0），B（-4，0），C（0，2），
直线BC的方程为：$\frac{x}{-4}+\frac{y}{2}$=1，化为：y=$\frac{1}{2}$x+2．
直线AP的方程为：y=k（x-4），
与椭圆方程联立可得：（4k²+1）x²-32k²x+64k²-16=0，
又点P在椭圆上，
∴4x_P=$\frac{64{k}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$，解得x_P=$\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}$，
∴y_P=k（x_P-4）=$\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}$，
故P$（\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}，\frac{-8k}{4{k}^{2}+1}）$．
k_CP=$\frac{2+\frac{8k}{4{k}^{2}+1}}{0-\frac{16{k}^{2}-4}{4{k}^{2}+1}}$=$\frac{1+2k}{2（1-2k）}$，
故直线CP的方程为：y=$\frac{1+2k}{2（1-2k）}$x+2，
令y=0，解得x=$\frac{8k-4}{2k+1}$，可得E$（\frac{8k-4}{2k+1}，0）$．
把直线BC与AP的方程联立可得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=k（x-4）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8k+4}{2k-1}}\\{y=\frac{8k}{2k-1}}\end{array}\right.$，
∴D$（\frac{8k+4}{2k-1}，\frac{8k}{2k-1}）$．
直线DE的斜率为k₁=$\frac{\frac{8k}{2k-1}-0}{\frac{8k+4}{2k-1}-\frac{8k-4}{2k+1}}$=$\frac{2k（2k+1）}{8k}$=$\frac{1}{2}k$$+\frac{1}{4}$，
∴$2{k_1}=k+\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、直线相交问题转化为方程联立解方程组，考查了推理能力与计算能力，属于难题．