Question

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（2b-a）cosC=ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理和三角形的内角和定理，即可求出C的值；
（2）利用△ABC的面积公式与余弦定理，即可求出a、b的值．

解答 解：（1）△ABC中，（2b-a）cosC=ccosA，
∴（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，
2sinBcosC=sinCcosA+sinAcosC，
2sinBcosC=sin（A+C），
又A+B+C=π，
∴2sinBcosC=sinB，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵c=2，C=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC的面积为
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴ab=4；①
又c²=a²+b²-2ab=2²，②
由①、②组成方程组，解得a=2，b=2．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形的内角和定理的应用问题，是基础题目．