题目内容

如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，点C为弧AB上的一个动点．若 $数学公式$ =x $数学公式$ +y $数学公式$ ，则x+3y的取值范围是________．

[1，3]
分析：过点C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F．平行四边形OECF中，可得 $\text{[math]}$ ，结合平面向量基本定理得到 $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =y $\text{[math]}$ ．考虑到x、y均为正数且x+3y中y的系数较大，所以当y越大时x+3y的值越大，因此将点C沿AB弧由A向B运动，加以观察即可得到x+3y的取值范围．
解答：

过点C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，可得
∵四边形OECF是平行四边形
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共线向量且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是共线向量，
∴ $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =y $\text{[math]}$
根据 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同向、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 同向，可得x= $\text{[math]}$ 且y= $\text{[math]}$
∵x、y均为正数且x+3y中y的系数较大，当点C沿AB弧由A向B运动的过程中，
| $\text{[math]}$ |变短而| $\text{[math]}$ |变长
∴当C与A重合时，x=1达到最大而y=0达到最小，此时x+3y有最小值为1；
当C与A重合时，x=0达到最小而y=1达到最大，此时x+3y有最大值为3
即x+3y的取值范围是[1，3]
故答案为：[1，3]
点评：本题给出扇形OAB的弧AB上动点C，在 $\text{[math]}$ =x $\text{[math]}$ +y $\text{[math]}$ 的情况下求x+3y的取值范围．着重考查了平面向量基本定理、向量的线性运算法则和二元函数最值求法等知识，属于中档题．