Question

2．在等差数列{a_n}中，a₁=1，a₆=21，记数列{$\frac{1}{a_n}$}的前n项和为S_n，若S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}$对n∈N₊恒成立，则正整数m的最小值为5．

Answer 1

分析 由等差数列的通项公式求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，可求其最大值，进而可得m的取值范围，结合m为正整数可得．

解答 解：等差数列{a_n}中，a₁=1，a₆=21=a₁+5d，∴公差 d=4，a_n=1+（n-1）d=4n-3，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4n-3}$．
记数列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n项和为S_n，则S_n =$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{4n-3}$，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）-（$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$）
=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+2}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$=（$\frac{1}{8n+2}$-$\frac{1}{8n+5}$）+（$\frac{1}{8n+2}$-$\frac{1}{8n+9}$）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$，
∴由题意可得，只需$\frac{14}{45}$≤$\frac{m}{15}$，即 m≥$\frac{14}{3}$，又∵m是正整数，∴m的最小值为5，
故答案为：5．

点评 本题考查数列与不等式的结合，证数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列并求数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值是解决问题的关键，属中档题．