Question

9．设a，b∈R，i是虚数单位，则“$a=\sqrt{3}$，b=1”是“$|{\frac{1+bi}{a+i}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 $|{\frac{1+bi}{a+i}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得$\frac{\sqrt{1+{b}^{2}}}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为：a²-2b²=1，而$a=\sqrt{3}$，b=1满足上式，即可判断出结论．

解答 解：$|{\frac{1+bi}{a+i}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，可得$\frac{\sqrt{1+{b}^{2}}}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，化为：a²-2b²=1，
而$a=\sqrt{3}$，b=1满足上式，反之不成立．
∴“$a=\sqrt{3}$，b=1”是“$|{\frac{1+bi}{a+i}}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$”的充分不必要条件．
故选：A．

点评 本题考查了模的计算公式、复数的运算法则、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．