Question

16．若当-π＜α＜0时，函数y=cos（2x+α）（x∈R）是奇函数，则当x∈[0，π]时，函数y=-sin（2x+$\frac{1}{3}$α）的增区间是（　　）

• A． [0，$\frac{π}{3}}$]
• B． [$\frac{5π}{6}$，π]
• C． [$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}}$]
• D． 以上都不是

Answer 1

分析 根据函数奇偶性及诱导公式得出$α=-\frac{π}{2}$，利用正弦函数的单调性列方程组解出y=-sin（2x+$\frac{1}{3}$α）的增区间即可．

解答 解：∵y=cos（2x+α）（x∈R）是奇函数，
∴α=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z．∵-π＜α＜0，∴α=$-\frac{π}{2}$．
∴y=-sin（2x+$\frac{1}{3}$α）=-sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
令$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{6}$+kπ，k∈Z．
∵x∈[0，π]，∴$\frac{π}{3}≤x≤\frac{5π}{6}$．
∴y=-sin（2x+$\frac{1}{3}$α）在[0，π]上的增区间是[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]．
故选：C．

点评 本题考查了正弦函数的性质，诱导公式的应用，属于中档题．