Question

6．已知α为锐角，满足$sin（\frac{π}{2}+2α）=cos（\frac{π}{4}-α）$，则sin2α=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据二倍角公式以及和差角公式对已知条件两边整理得cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再两边平方即可得到结论．

解答 解：∵$sin（\frac{π}{2}+2α）=cos2α$=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（cosα+sinα），①
cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosα+sinα），②
∵锐角α满足cos2α=cos（$\frac{π}{4}$-α），③
∴由①②③得，cosα-sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
两边平方整理得：1-sin2α=$\frac{1}{2}$，则sin2α=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值．解决这类题目的关键在于对公式的熟练掌握及其应用，是基础题．