Question

10．己知集合A={x|x²+（2+a）x+1=0}．
（1）设集合B={x|x²-x-2=0}，若A∩B=A，求实数a的取值范围．
（2）设集合c={x|x＞0}，试问是否存在实数a，使得A∩C=∅？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简B={x|x²-x-2=0}，若A∩B=A，则A⊆B，分类讨论求实数a的取值范围．
（2）分两种情况考虑：当集合A为空集时，满足A∩B=∅，求出此时a的范围；当集合A为空集时，集合A中的方程的解为非正数，求出a的范围即可．

解答 解：（1）B={x|x²-x-2=0}={-1，2}，
若A∩B=A，则A⊆B，
∴A=∅，即△=（2+a）²-4＜0，
此时a的范围为-4＜a＜0；
若A={-1}，$\left\{\begin{array}{l}{-1-1=-2-a}\\{（-1）×（-1）=1}\end{array}\right.$，∴a=0；
若A={2}，$\left\{\begin{array}{l}{2+2=-2-a}\\{2×2=1}\end{array}\right.$，不成立；
A={-1，2}，则$\left\{\begin{array}{l}{-1+2=-2-a}\\{（-1）×2=1}\end{array}\right.$，不成立；
综上，a的范围为-4＜a≤0；
（2）分两种情况考虑：当A=∅，
即x²+（2+a）x+1=0无解时，△=（2+a）²-4＜0，
此时a的范围为-4＜a＜0；
当A≠∅，即x²+（2+a）x+1=0解为非正数时，
∵x≠0，∴方程x²+（2+a）x+1=0变形得2+a=-x-$\frac{1}{x}$≥2，
∴a≥0
综上，实数a的范围是a＞-4．

点评 此题考查了交、并集及其运算，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键．