Question

4．如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且AD⊥AC，AB=3$\sqrt{2}$，AD=3，sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求BD的长；
（2）求sin∠ACD．

Answer 1

分析 （1）由已知利用诱导公式可求cos∠BAD的值，利用余弦定理即可计算BD的长．
（2）由（1）及余弦定理可求cos∠ABD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ABD，cos∠BAC的值，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算sin∠ACD的值．

解答 解：（1）∵AD⊥AC，sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin∠BAC=sin（∠BAD+∠DAC）=sin（∠BAD+$\frac{π}{2}$）=cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵AB=3$\sqrt{2}$，AD=3，
∴由余弦定理可得：BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB•AD•cos∠BAD}$
=$\sqrt{18+9-2×3\sqrt{2}×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵由（1）及余弦定理可得：cos∠ABD=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠ABD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又∵sin∠BAC=sin（∠BAD+$\frac{π}{2}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得：cos∠BAC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BAC}$=-$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ACD=sin[π-（∠ABD+∠BAC）]=sin∠ABDcos∠BAC+cos∠ABDsin∠BAC
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×（-$\frac{1}{3}$）+$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．