Question

17．已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足S_n=2a_n-2n，b_n=a_n+2．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记c_n=log₂b_n，数列$\{\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}\}$的前n项和为T_n，证明${T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （I）S_n=2a_n-2n，利用递推关系可得：a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，即a_n+1=2a_n+2．再利用等比数列的系统公司即可得出．
（II）由（Ⅰ）得c_n=n+1，可得：$\frac{1}{{c}_{n}{c}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-2n，
∴S_n+1=2a_n+1-2（n+1），从而a_n+1=2a_n+1-2a_n-2，
即a_n+1=2a_n+2．∴$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{{a_{n+1}}+2}}{{{a_n}+2}}=\frac{{2{a_n}+4}}{{{a_n}+2}}=2$．
又a₁=S₁=2a₁-2，∴a₁=2，b₁=a₁+2=4≠0，
∴{b_n}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴${b_n}=4×{2^{n-1}}={2^{n+1}}$，从而${a_n}={2^{n+1}}-2$．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得c_n=n+1，
∴$\frac{1}{{{c_n}{c_{n+1}}}}=\frac{1}{（n+1）（n+2）}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
从而${T_n}=（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}＜\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和方法”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．