Question

18．已知AB为经过抛物线y²=6x焦点F的弦，C为抛物线的准线与x轴的交点，若弦AB的斜率为$\frac{4}{3}$，则∠ACB的正切值为（　　）

• A． $\frac{40}{9}$
• B． $-\frac{8}{21}$
• C． 1
• D． 不存在

Answer 1

分析 根据直线l的斜率k=$\frac{4}{3}$，设出A的坐标，代入抛物线y²=6x，求出A的坐标，可求tan∠ACF，同理可得tan∠BCF的大小，再利用二倍角的正切公式，即可得出结论．

解答 解：∵抛物线方程为y²=2px=6x，∴p=3
∵焦点F坐标为（$\frac{3}{2}$，0），准线l方程为x=-$\frac{3}{2}$
∴C点坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）
∵直线AB经过点F（$\frac{3}{2}$，0），AB的斜率为$\frac{4}{3}$，
∴设点A的坐标为（$\frac{3}{2}+x$，$\frac{4}{3}x$），（x＞0），
代入抛物线方程可得，16x²-18px-9p²=0，
可以解得，x=$\frac{9}{2}$或x=-$\frac{9}{8}$（舍去），
∴tan∠ACF=$\frac{\frac{4}{3}x}{x+3}$=$\frac{4}{5}$，
同理，可以解得，tan∠BCF=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠ACB=tan2∠ACF=$\frac{\frac{4}{5}+\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}×\frac{4}{5}}$=$\frac{40}{9}$．
故选：A．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查二倍角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．