Question

设在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=2，∠BAC=90°，E，F依次为C₁C，BC的中点．
（1）求异面直线A₁B、EF所成角θ的大小（用反三角函数值表示）；
（2）求点B₁到平面AEF的距离．

Answer 1

分析：（1）连接C₁B，因为C₁B∥EF，异面直线A₁B、EF所成角与C₁B、A₁B所成角相等．
（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B₁到平面AEF的距离．

解答：解：以A为原点建立如图空间坐标系，
则各点坐标为A₁（0，0，2），B（2，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）
（1）

A1B

=(2，0，-2)，

EF

=(1，-1，-1)，
cosθ=|

A1B • EF

| A1B || EF |

|=

4

2 2 × 3

=

6

3

∴θ=arccos

6

3

（6分）
（2）设平面AEF的一个法向量为

n

=(a，b，c)，
∵

AE

=(0，2，1)，

AF

=(1，1，0)
由

n • AE =0 n • AF =0

得

2b+c=0 a+b=0

令a=1可得

n

=(1，-1，2)（10分）
∵

AB1

=(2，0，2)，∴d=

| A1B • n |

| n |

=

6

6

=

6

（13分）
∴点B₁到平面AEF的距离为

6

．（14分）

点评：此题主要考查异面直线的角度及余弦值计算．