Question

6．设命题p：方程5x²+my²=1表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程（m+1）x²-my²=1表示焦点在x轴上的双曲线，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：方程5x²+my²=1表示焦点在x轴上的椭圆；则$\frac{1}{5}＞\frac{1}{m}＞0$，解得m范围．命题q：方程（m+1）x²-my²=1表示焦点在x轴上的双曲线，则$\frac{1}{m+1}＞0$，$\frac{1}{m}$＞0，解得m范围．若p∧q为假，p∨q为真，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：命题p：方程5x²+my²=1表示焦点在x轴上的椭圆；则$\frac{1}{5}＞\frac{1}{m}＞0$，解得m＞5．
命题q：方程（m+1）x²-my²=1表示焦点在x轴上的双曲线，则$\frac{1}{m+1}＞0$，$\frac{1}{m}$＞0，解得m＞0．
若p∧q为假，p∨q为真，∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞5}\\{m≤0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤5}\\{m＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜m≤5．
∴实数m的取值范围是（0，5]．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、圆锥曲线的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．