Question

16．已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为S_n，若S_k=90．
（1）求a及k的值；   
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质可知：a+3a=2×4，即可求得a₁=a=2，d=a₂-a₁=2，代入前n项和公式即可求得k的值；
（2）由b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，采用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和．

解答 解：（1）等差数列为{a_n}的前三项分别为：a₁=a，a₂=4，a₃=3a，
∴a+3a=2×4，解得：a₁=a=2，公差d=a₂-a₁=2，将S_k=90，
代入公式S_k=ka₁+$\frac{k（k+1）}{2}•d$，解得：k=9，
∴a=2，k=9；
（2）由 （1）可知：S_n=2n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n（n+1），
b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$，
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查等差数列前n项和公式，考查“裂项法”求数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．