Question

1．已知a＞0，b＞-1，且a+b=1，则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 a＞0，b＞-1，且a+b=1，可得b=1-a＞-1，又0＜a，解得0＜a＜2．于是$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{2-a}$=f（a），
法①：利用导数研究函数的单调性极值与最值．
法②：f（a）=$\frac{1}{2}$（a+2-a）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}）$=$\frac{1}{2}$（3+2×$\frac{2-a}{a}+\frac{a}{2-a}$），利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵a＞0，b＞-1，且a+b=1，∴b=1-a＞-1，又0＜a，解得0＜a＜2．
则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$=a+$\frac{2}{a}$+$\frac{（1-a）^{2}}{2-a}$=$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{2-a}$=f（a），
法①：f′（a）=$-\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{（2-a）^{2}}$=$\frac{-（{a}^{2}-8a+8）}{（2a-{a}^{2}）^{2}}$=$\frac{-[a-（4+2\sqrt{2}）][a-（4-2\sqrt{2}）]}{（2a-{a}^{2}）^{2}}$．
可得：当且仅当a=4-2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$-3时，函数f（a）取得最小值，f（4-2$\sqrt{2}$）=$\frac{2}{4-2\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2-（4-2\sqrt{2}）}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
法②：f（a）=$\frac{1}{2}$（a+2-a）$（\frac{2}{a}+\frac{1}{2-a}）$=$\frac{1}{2}$（3+2×$\frac{2-a}{a}+\frac{a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2（2-a）}{a}×\frac{a}{2-a}}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$，当且仅当a=4-2$\sqrt{2}$，b=2$\sqrt{2}$-3时取等号．
故答案为：$\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．