Question

8．已知数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ，设数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b_n}$-$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$=1（n∈N^*，n≥2）
（Ⅰ）求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n（$\frac{2}{b_n}$-1），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b_n}$-$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$=1（n∈N^*，n≥2，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=a_n（$\frac{2}{b_n}$-1）=（2n+1）•2ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{b_n}$-$\frac{1}{{{b_{n-1}}}}$=1（n∈N^*，n≥2），∴数列$\{\frac{1}{{b}_{n}}\}$是等差数列，首项为2，公差为1，∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴b_n=$\frac{1}{n+1}$．
（2）c_n=a_n（$\frac{2}{b_n}$-1）=2ⁿ（2n+2-1）=（2n+1）•2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=$2×\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+2-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=-2+（1-2n）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．