Question

17．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=$\frac{x}{4x+1}$的图象上，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$（n∈N^*）．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）a_k•a_k+1是否为数列{a_n}中的项，并作说明．

Answer 1

分析 （1）代入点的坐标，两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（2）求得a_k•a_k+1，化简整理，可得形如数列{a_n}的通项公式的形式，即可得到结论．

解答 解：（1）证明：∵点（a_n，a_n+1）在函数y=$\frac{x}{4x+1}$的图象上，
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{4{a}_{n}+1}$，
两边取倒数得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+4，
得到$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=4，
则数列{b_n}是首项为1，公差为4的等差数列；
即有b_n=1+4（n-1）=4n-3，a_n=$\frac{1}{4n-3}$；
（2）由a_k•a_k+1=$\frac{1}{4k-3}$•$\frac{1}{4k+1}$
=$\frac{1}{16{k}^{2}-8k-3}$=$\frac{1}{4（4{k}^{2}-2k）-3}$，
而4k²-2k=2k（2k-1）∈N，
即有a_k•a_k+1为数列{a_n}中的项．

点评 本题考查“取倒数法”求数列的通项公式、把已知等价转化，考查化简整理的运算能力，属于中档题．