Question

11．下列命题：
①已知a，b，m都是正数，并且a＜b，则$\frac{a+m}{b+m}$＞$\frac{a}{b}$；
②在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A=60°，a=7，b=8，则三角形有一解；
③若函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，则f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）=5；
④在等比数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（其中n∈N^*，q为公比）；
⑤如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N分别是CD，CC₁的中点，则异面直线A₁M与DN所成角的大小是90°．
其中真命题有①③⑤（写出所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 ①作差与0比较，即可得到结论；
②求出三角形的高h=bsinA，与a比较即可．
③f（x）+f（1-x）=1，即可．
④根据等比数列的前n项和公式进行判断，
⑤以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出$\overrightarrow{DN}$与$\overrightarrow{{A}_{1}M}$夹角求出异面直线A₁M与DN所成的角．

解答 解：①∵a，b，m都是正数，并且a＜b，∴$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}$=$\frac{m（b-a）}{b（b+m）}$＞0，∴$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$，即①为真命题；
②bsin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∵0＜bsin60°＜7，∴三角形有2解；故②错误
③若函数f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
则f（x）+f（1-x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{{4}^{1-x}}{{4}^{1-x}+2}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{4}{4+2•{4}^{x}}$=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$+$\frac{2}{2+{4}^{x}}$=$\frac{2+{4}^{x}}{2+{4}^{x}}$=1，
则f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{2}{11}$）+f（$\frac{3}{11}$）+…+f（$\frac{10}{11}$）=5；成立，故③正确，
④在等比数列{a_n}中，当q≠1时，a₁+a₂+…+a_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$（其中n∈N^*，q为公比）；
当q=1时，a₁+a₂+…+a_n=na₁，故④错误，⑤以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，
则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A₁（2，0，2），$\overrightarrow{DN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（-2，1，-2）
$\overrightarrow{DN}$•$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=0，所以$\overrightarrow{DN}$⊥$\overrightarrow{{A}_{1}M}$，即A₁M⊥DN，异面直线A₁M与DN所成的角的大小是90°，故⑤正确，
故答案为：①③⑤

点评 本题主要考查吗的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，有一定的难度．