Question

3．在数列中，a₁=1，a_n+1=（-1）ⁿ（a_n+1），记S_n为{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₆=-1008．

Answer 1

分析 a_n+1=（-1）ⁿ（a_n+1），分类讨论：n=2k（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k=1；n=2k-1时，a_2k=-a_2k-1-1．可得：a_2k+1+a_2k-1=0，a_2k+2+a_2k=-2．利用分组求和即可得出．

解答 解：∵a_n+1=（-1）ⁿ（a_n+1），
∴n=2k（k∈N^*）时，a_2k+1-a_2k=1；
n=2k-1时，a_2k=-a_2k-1-1．
∴a_2k+1+a_2k-1=0，a_2k+2+a_2k=-2．
∴S₂₀₁₆=[（a₁+a₃）+…+（a₂₀₁₃+a₂₀₁₅）]+[（a₂+a₄）+…+（a₂₀₁₄+a₂₀₁₆）]
=0+（-2）×$\frac{2016}{4}$=-1008．
故答案为：-1008．

点评 本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．