Question

5．设函数f（x）=lg[log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（${\frac{1}{2}$x-1）]的定义域为集合A，集合B={x|x＜1，或x≥3}．
（1）求A∪B，（∁_RB）∩A；
（2）若2^a∈A，且log₂（2a-1）∈B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意：求函数的定义域得到集合A，在根据集合的基本运算求解A∪B，（∁_RB）∩A；
（2）因为2^a∈A，log₂（2a-1）∈B，即A是2^a的值域，B是log₂（2a-1）的值域，即可求解a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=lg[log${\;}_{\frac{1}{2}}}$（${\frac{1}{2}$x-1）]的定义域是集合A；
函数f（x）的定义域满足.${log_{\frac{1}{2}}}（\frac{1}{2}x-1）＞0$，
∴$0＜\frac{1}{2}x-1＜1$，
∴2＜x＜4，
∴集合A=（2，4）；
集合B={x|x＜1，或x≥3}．即B=（-∞，1）∪[3，+∞），
∴∁_RB=[1，3），
故得∴A∪B=（-∞，1）∪（2，+∞）； 
（∁_RB）∩A=（2，3）．
（2）由（1）得A=（2，4）；B=（-∞，1）∪[3，+∞），
∵2^a∈A，
∴2＜2^a＜4，
解得：1＜a＜2，
又∵log₂（2a-1）∈B，
∴log₂（2a-1）＜1或log₂（2a-1）≥3，
∴0＜2a-1＜2或2a-1≥8，
解得$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}或a≥\frac{9}{2}$
∴$1＜a＜\frac{3}{2}$．
所以实数a的取值范围是（1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了对函数的定义域求法和集合的基本运算，对数，指数的计算问题．属于基础题．