Question

18．某设备启用后，使用年份x（年）和所需的维修费用y（万元）有如下几组统计数据：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）估计该设备启用后第10年（即x=10）所需要的维修费用大约是多少？
（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （1）先做出两组数据的平均数，把平均数和条件中所给的两组数据代入求解b的公式，做出b的值，再求出a的值，写出回归直线的方程．
（2）把x=10代入直线的方程得到y=0.08+1.23×10=12.38，估计使用年限为10年时维修的费用．这是一个预报值，不是正确数值．

解答 解：（1）$\overline{x}$=$\frac{2+3+4+5+6}{5}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.2+3.8+5.5+6.5+7}{5}$=5，…（2分）
∴$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}•{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23…（5分）
a=5-1.23×4-0.08…（7分）
∴线性回归方程为y=0.08+1.23x．…（9分）
（2）把x=10代入回归方程得到：y=0.08+1.23×10=12.38，
∴估计使用年限为10年时，维修费用为12.38万元．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求解和应用，是一个基础题，解题的关键是正确应用最小二乘法来求线性回归方程的系数．