Question

某地产开发公司拟在如图所示夹角为60°的角形区域BAC内进行地产开发．根据市政要求，此地产开发必须在角形区域的两边之间建一条定长为500m的绿化带PQ，并且规定由此绿化带和角形区域围成的△APQ的面积作为此开发商的开发面积．问开发商如何给P，Q进行选址，才能使自己的开发面积最大？并求最大开发面积．

Answer 1

【答案】分析：根据正弦定理知60°，从模型来看，面积的变化受xy的影响，所以再建立xy最大值模型，由余弦定理可知：500²=x²+y²-2xycos60°≥2xy-2xycos60°=xy，即xy≤500²，所以60°≤=62500，当且仅当x=y时取等号．即△APQ的面积最大．
解答：解：∠A=60°，PQ=500，设AP=x，AQ=y，（2分）
则500²=x²+y²-2xycos60°（6分）
≥2xy-2xycos60°=xy（9分）
∴60°≤=62500，
当且仅当x=y时取等号．
∴当AP=AQ=500时，△APQ的面积最大（13分）
答：当P，Q选在距离A点都为500m时，开发的面积最大，最大面积为62500m²．（14分）
点评：本题主要考查三角形面积模型的建立及最大值的求法，还涉及了正弦定理，余弦定理和基本不等式的应用．