Question

3．已知数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n（n-1），且a_n是b_n与1的等差中项．
（1）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（n+1）}$（n≥2），求c₂+c₃+c₄+…+c_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁=0，当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2），a_n=S_n-S_n-1，即可求得数列{a_n}通项公式，由2a_n=1+b_n，求得b_n=2n-3；
（2）由（1）可知：c_n=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）（n≥2），采用“裂项法”即可求得c₂+c₃+c₄+…+c_n的值．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=0，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2），
∴a_n=S_n-S_n-1=[$\frac{1}{2}$n（n-1）]-[$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2）]=n-1，
当n=1时，成立，
故a_n=n-1；
a_n是b_n与1的等差中项，
∴2a_n=1+b_n，
∴b_n=2n-3，
数列{a_n}通项公式a_n=n-1，数列{b_n}的通项公式b_n=2n-3；…（8分）
（2）因为c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（n+1）}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）（n≥2），…（10分）
∴c₂+c₃+c₄+…+c_n．
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．
c₂+c₃+c₄+…+c_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．…（12分）

点评 本题考查求数列通项公式的方法，考查等差数列的性质，“裂项法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．