Question

如图，已知圆E：(x+

3

)2+y2=16，点F(

3

，0)，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；
（Ⅱ）设直线l与（Ⅰ）中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k₁，k，k₂（其中k＞0）．△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S₁，S₂．若k₁，k，k₂恰好构成等比数列，求

S1+S2

S

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,直线和圆的方程的应用

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．解出即可．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，利用根与系数的关系及其k₁，k，k₂构成等比数列，可得km（x₁+x₂）+m²=0，解得k²=

1

4

，k=

1

2

．利用△＞0，解得m∈(-

2

，

2

)，且m≠0．利用S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

=

2-m2

|m|，
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=

x 2 2

4

+

y

2 2

=1，可得S₁+S₂=

π

4

(

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

)=

5π

4

为定值．代入利用基本不等式的性质即可得出

S1+S2

S

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，
则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，
故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．
设其方程为

x2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，
可知a=2，c=

a2-b2

=

3

，则b=1，
∴点Q的轨迹Γ的方程为为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+m x2+4y2=4

，化为（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∴△=16（1+4k²-m²）＞0，x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4(m2-1)

1+4k2

．
∵k₁，k，k₂构成等比数列，
∴k²=k₁k₂=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

，化为：km（x₁+x₂）+m²=0，
∴

-8k2m2

1+4k2

+m²=0，解得k²=

1

4

．
∵k＞0，
∴k=

1

2

．
此时△=16（2-m²）＞0，解得m∈(-

2

，

2

)．
又由A、O、B三点不共线得m≠0，从而m∈(-

2

，0)∪(0，

2

)．
故S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

，=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

|m|=

2-m2

|m|，
又

x 2 1

4

+

y

2 1

=

x 2 2

4

+

y

2 2

=1，
则S₁+S₂=

π

4

(

x

2 1

+

y

2 1

+

x

2 2

+

y

2 2

)=

π

4

(

3

4

x

2 1

+

3

4

x

2 2

+2)=

3π

16

[(x1+x2)2-2x1x2]+

π

2

=

5π

4

为定值．
∴

S1+S2

S

=

5π

4

×

1

(2-m2)m2

≥

5π

4

，当且仅当m=±1时等号成立．
综上：

S1+S2

S

∈[

5π

4

，+∞)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．