Question

已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．若有一个菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）当直线过点时，求直线的方程；

（3）当时，求菱形面积的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）依题意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出椭圆的方程．

（2）直线BD：y=-1×（x-1）=-x+1，设AC：y=x+b，由方程组得，再由根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质能推导出AC的方程．

（3）因为四边形ABCD为菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积，由AC2=（x2-x1）2+（y2-y1）2=2（x2-x1）2=2（x2+x1）2-8x1x2，能推导出当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．

试题解析：（1）依题意， 1分

解，得， 2分

所以，， 3分

于是椭圆的方程为． 4分

（2）由已知得直线：， 5分

设直线：，、 6分

由方程组得， 7分

当时，

AC的中点坐标为，， 8分

因为是菱形，所以的中点在上，

所以，解得，满足， 9分

所以的方程为． 10分

（3）因为四边形为菱形，且，所以，

所以菱形的面积， 11分

由（2）可得

13分

又因为，

所以当且仅当时，菱形的面积取得最大值，最大值为． 14分

考点：１．直线与圆锥曲线的综合问题；２．直线的一般式方程；３．椭圆的标准方程．