Question

已知在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，E为PA的中点．
（1）若F为线段PD靠近D的一个三等分点，求证BE∥平面ACF；
（2）若平面PAC⊥平面PCD求证：PC⊥CD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结DE，取线段DE中点K，连结AK，AK延长线交PD于F，得到OK∥BE，利用线面平行的判定定理可证；
（2）证：若平面PAC⊥平面PCD，在平面PAC内做AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCD，由线面垂直的性质得到线线垂直，进一步得到CD⊥平面PAC，再由性质得到所证．

解答： 解：（1）连结DE，取线段DE中点K，连结AK，AK延长线交PD于F，点F 即为所求点．易求点F为PD的三等分点（靠近点D）
证：设AC∩BD=O，连结OK，则OK∥BE，又OK?平面ACF，
BE?平面ACF，所以BE∥平面ACF；
（2）证：若平面PAC⊥平面PCD，在平面PAC内做AH⊥PC，垂足为H，则AH⊥平面PCD，所以AH⊥CD．又PA⊥CD，PA∩AH=A，
PA，AH?平面PAC，所以CD⊥平面PAC，所以PC⊥CD．

点评：本题考查了线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理的运用，适当做出辅助线，利用相关定理证明解答．