Question

1．对于数列{a_n}，若前n项和S_n=2a_n-3n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式求出首项，得到当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-3（n-1），与原递推式作差后可得数列{a_n}是以6为首项，以2为公比的等比数列．再由等比数列的通项公式得答案；
（2）根据等比数列前n项和公式，即可求得数列{a_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）数列{a_n}前n项和S_n=2a_n-3n．①
∴当n=1，a₁=2a₁-3，
∴a₁=3，
a₁+a₂=2a₂-3×2，a₂=9，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-3（n-1）．②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-3，
整理得：a_n=2a_n-1+3，即a_n+3=2（a_n-1+3），
∴$\frac{{a}_{n}+3}{{a}_{n-1}+3}$=2，
$\frac{{a}_{2}+3}{{a}_{1}+3}$=$\frac{9+3}{3+3}$=2，成立，
∴数列{a_n+3}是以6为首项以2为公比的等比数列，
a_n+3=6×2^n-1=3×2ⁿ，
∴a_n=3×2ⁿ-3，
数列{a_n}的通项公式a_n=3×2ⁿ-3；
（2）数列{a_n}的前n项和S_n，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，
=3×（2+2²+2³+…+2ⁿ）-3×n，
=3×2ⁿ⁺¹-3n-6，
S_n=3×2ⁿ⁺¹-3n-6．

点评 本题考查数列通项公式及前n项和的求法，考查转化思想，计算能力，属于中档题．