Question

已知圆M：(x＋1)²＋y²＝1，圆N：(x－1)²＋y²＝9，动圆P与M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．

(Ⅰ)求C的方程；

(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．

Answer 1

答案：
解析：

　　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r₁＝1，圆N的圆心为N(1，0)，半径r₂＝3．

　　设动圆的圆心为(，)，半径为R．

　　(Ⅰ)∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|＋|PN|＝＝＝4，

　　由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为．

　　(Ⅱ)对于曲线C上任意一点(，)，由于|PM|－|PN|＝≤2，∴R≤2，

　　当且仅当圆P的圆心为(2，0)时，R＝2．

　　∴当圆P的半径最长时，其方程为，

　　当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|＝．

　　当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4，0)，∴设：，由于圆M相切得，解得．

　　当＝时，将代入并整理得，解得＝，∴|AB|＝＝．

　　当＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝，

　　综上，|AB|＝或|AB|＝．