Question

若集合A＝{x|x＝3n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3n＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6n＋3，n∈Z}．

(1)若m∈M，问是否有a∈A，b∈B，使m＝a＋b；

(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定有a＋b＝m且m∈M？并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

(1)由m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1，b＝3k＋2，则m＝a＋b．故m∈M，一定有a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立． 　　(2)设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3． 　　因此当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时有m∈M，使a＋b＝m；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6M，此时不存在m使a＋b＝m成立．

提示：

分析：(1)由m∈M，可写出m的表达式，再根据A、B中元素特征，寻找a、b； 　　(2)问中可表示a、b，然后找a＋b，最后观察a＋b的形式． 　　评注：在探索过程中，要紧抓各集合元素的特征，利用构造法去寻找，同时注意分类讨论．