Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且sin²B+sin²C=sin²A+sinBsinC．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且b+c=4，求边a与sinBsinC的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理化简已知的式子，由余弦定理和A的范围求出A的值；
（2）由（1）和三角形的面积公式列出方程，由条件和余弦定理求出a的值，由正弦定理求出sinB、sinC，代入sinBsinC求值即可．

解答 解：（1）∵sin²B+sin²C=sin²A+sinBsinC，
∴由正弦定理得：b²+c²=a²+bc   …（2分）
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$═$\frac{1}{2}$     …（4分）
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$；                  …（6分）
（2）∵△ABC的面积S=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则$\frac{1}{2}bc×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得bc=$\frac{4}{3}$，
又b+c=4，由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-3bc=16-4=12，
解得a=$2\sqrt{3}$             …（9分）
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
则sinB=$\frac{b}{4}$，sinC=$\frac{c}{4}$，
∴sinBsinC=$\frac{bc}{16}$=$\frac{4}{3}×\frac{1}{16}$=$\frac{1}{12}$  …（12分）

点评 本题考查正弦定理和余弦定理，三角形的面积公式的应用，考查方程思想和化简、计算能力，属于中档题．