Question

2．已知矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，沿AO将三角形AOD折起，使DB=$\sqrt{3}$，如图所示，H为AO的中点．
（1）求证：平面AOD⊥平面ABCO；
（2）求二面角O-DB-H的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面AOD⊥平面ABCO；
（2）建立空间坐标系求出平面的法向量即可求二面角O-DB-H的余弦值．

解答 （1）证明：在矩形ABCD中，AB=2AD=2，O为CD的中点，
则△AOD，△BOC为等腰直角三角形，则∠AOB=90°
∵H为AO的中点．
∴OH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
BH²=BO²+OH²=（$\sqrt{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=$\frac{5}{2}$，
BH²+DH²=$\frac{5}{2}$+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=3=BD²，
则BH⊥DH，
∵DH⊥OA，DH∩BH=H，
∴DH⊥平面ABCO，
∵DH?平面AOD，
∴平面AOD⊥平面ABCO；
（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，分别为x，y轴的空间直角坐标系如图：

则O（0，0，0），H（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，0），D（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（0，$\sqrt{2}$，0），
设平面BHD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{HB}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{HD}$=0，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=2y}\\{z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则x=2，即$\overrightarrow{m}$=（2，1，0），
类似可得平面BOD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，-1），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{2}{\sqrt{5}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即二面角O-DB-H的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查空间面面垂直的判定以及二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．