Question

2．已知函数f（x）=e^x-mx^k（m，k∈R）定义域为（0，+∞）．
（1）若k=2时，曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求实数m的值；
（2）若k=1时，函数f（x）在（1，+∞）上有最小值，求实数m的取值范围；
（3）若m=1时，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，求整数k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f'（1）=f'（3），得到关于m的方程，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调性，得到关于m的不等式，解出即可；
（3）求出函数的导数，得到e^x-kx^k-1≥0在x∈（1，+∞）上恒成立，通过讨论k的范围，结合函数的单调性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）k=2时，f（x）=e^x-mx²，
f'（x）=e^x-2mx，由题意f'（1）=f'（3），
∴e-2m=e³-6m，
∴$m=\frac{{{e^3}-e}}{4}$；
（2）k=1时，f（x）=e^x-mx，f'（x）=e^x-m，
∵f（x）在（1，+∞）上有最小值，∴m＞0，
令f'（x）=e^x-m=0，得x=lnm，
当0＜x＜lnm时，f'（x）＜0，
当x＞lnm时，f'（x）＞0，
故x=lnm是f（x）的极小值点，
又f（x）在（1，+∞）上有最小值，
∴lnm＞1，即m＞e；
（3）m=1时，f（x）=e^x-x^k，
由题意：f'（x）=e^x-kx^k-1≥0在x∈（1，+∞）上恒成立，
（ i） k≤0时，显然成立．
（ ii）k＞0时，e^x≥kx^k-1在x∈（1，+∞）上恒成立，
即x≥ln（kx^k-1），即lnk+（k-1）lnx-x≤0在x∈（1，+∞）上恒成立
令g（x）=lnk+（k-1）lnx-x，x＞1$g'（x）=\frac{k-1}{x}-1=-\frac{x-（k-1）}{x}$
当0＜k≤2时，g'（x）＜0在x∈（1，+∞）上恒成立，
∴g（1）≤0，所以lnk-1≤0，
∴0＜k≤e，又0＜k≤2，所以0＜k≤2．
当k＞2时，g'（x）=0，所以x=k-1，
g（x）在（1，k-1）上单调递增，在（k-1，+∞）上单调递减，
所以g（k-1）≤0，即lnk+（k-1）ln（k-1）-（k-1）≤0，①
令h（k）=lnk+（k-1）ln（k-1）-（k-1），
k＞2$h'（k）=\frac{1}{k}+ln（k-1）$，
k＞2时h'（k）＞0恒成立，
所以h（k）在（2，+∞）上单调递增，
因为h（3）=ln3+2ln2-2=ln12-2＞0，
所以不等式①无解．
综上，整数k的最大值为2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，函数恒成立问题，是一道中档题．