Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AD=PD，∠DAB=60°．点分E，F，G，H别是棱AB，CD，PC，PB上共面的四点，且BC∥EF．
（1）证明：GH∥EF；
（2）若点E，F，G，H分别是棱AB，CD，PC，PB的中点，求二面角E-GH-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的性质定理证明BC∥平面EFGH即可；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．

解答 解：（1）∵BC∥EF，BC?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴BC∥平面EFGH，
∵BC?平面PBC，平面PBC∩平面EFGH=GH，
∴GH∥BC，
∵BC∥EF，∴GH∥EF．
（2）∵ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
设AC∩BD=O，
则O是BD的中点，
∵H是PB的中点，
∴OH∥PD，
∵PD⊥平面ABCD，∴OH⊥平面ABCD，
建立以O为坐标原点，OA，OB，OH分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设AD=2，则A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），H（0，0，1），C（-$\sqrt{3}$，0，0），D（0，-1，0），
F（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，0），G（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$，1），
设平面EGH的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{HE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{GH}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y-z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=-$\sqrt{3}$，z=0，即$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，0），
设平面BGH的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HG}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{HB}=0}\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y=0}\\{y-z=0}\end{array}\right.$，令x=-1，则y=z=$\sqrt{3}$，
即$\overrightarrow{m}$=（-1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∵二面角E-GH-B是锐二面角，
∴二面角E-GH-B的余弦值是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查线面平行的性质定理以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．