Question

14．设a，b，c为正数，a+b+9c²=1，则$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{3}$c的最大值为$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用柯西不等式求得$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{3}$c的最大值．

解答 解：∵a、b、c为正数，a+b+9c²=1，
由柯西不等式可得[$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{3}$c]²≤[（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt{b}$）²+（3c）²]•[1²+1²+（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）²]=1×$\frac{7}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{3}$c的最大值是$\frac{\sqrt{21}}{3}$．此时，$\frac{\sqrt{a}}{1}$=$\frac{\sqrt{b}}{1}$=$\frac{3c}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$ 且a+b+9c²=1，
即 a=b=$\frac{3}{7}$，c=$\frac{\sqrt{7}}{21}$时，取等号，
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{3}$．

点评 本题考查了柯西不等式的应用，考查了变形能力和计算能力，属于基础题．