Question

（本小题满分13分）已知函数为自然对数的底数）

（1）求函数的最小值；

（2）若≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；

（3）在（2）的条件下，证明：

Answer 1

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）求导，讨论函数的单调性，可求函数的最小值；

（2）问题即为对任意的恒成立，即在上，.，设，即解讨论函数的单调性，可得

（3）（2）得，即，当且仅当时，等号成立，令

则，即，所以，累加即可得证

试题解析：（1）由题意，

由得.

当时， ;当时，.

∴在单调递减，在单调递增

即在处取得极小值，且为最小值，

其最小值为

（2）对任意的恒成立，即在上，.

由（1），设，所以.

由得.

易知在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴ 在处取得最大值，而.

因此的解为，∴

（3）由（2）得，即，当且仅当时，等号成立，令

则，即，所以

累加得

考点：利用导数研究函数的性质，利用导数证明有关命题