题目内容
18．甲、乙两地相距400千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时．已知该汽车每小时的运输成本t（元）关于速度x（千米/时）的函数关系式是t=$\frac{1}{19200}$x4-$\frac{1}{160}$x3+15x．（1）当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为多少元？
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求出此时运输成本的最小值．
分析 （1）全程运输成本=$\frac{400}{60}$×$（\frac{1}{19200}×6{0}^{4}-\frac{1}{160}×6{0}^{3}+15×60）$元．
（2）全程运输成本f（x）=$\frac{400}{x}$•（$\frac{1}{19200}$x4-$\frac{1}{160}$x3+15x）=$\frac{1}{48}{x}^{3}$-$\frac{5}{2}{x}^{2}$+6000．（0＜x≤100）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
解答 解：（1）全程运输成本=$\frac{400}{60}$×$（\frac{1}{19200}×6{0}^{4}-\frac{1}{160}×6{0}^{3}+15×60）$=1500元．
（2）全程运输成本f（x）=$\frac{400}{x}$•（$\frac{1}{19200}$x4-$\frac{1}{160}$x3+15x）=$\frac{1}{48}{x}^{3}$-$\frac{5}{2}{x}^{2}$+6000．（0＜x≤100）．
f′（x）=$\frac{1}{16}{x}^{2}$-5x=$\frac{x（x-80）}{16}$=0，解得x=80．
∴汽车应以80千米/时速度行驶时，使得运输成本取得最小值，f（80）=$\frac{2000}{3}$元．
答：（1）当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时，全程运输成本为1500元．
（2）为使全程运输成本最少，汽车应以80千米/时速度行驶，使得运输成本取得最小值$\frac{2000}{3}$元．
点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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