Question

2．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有不等式（x-1）（e^-x-x）+2lnx＜$\frac{2}{3}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数解不等式可得函数的单调性，可得最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论可得知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x-2lnx≥\frac{3}{2}$，变形可得不等式左边≤（x-1）e^-x+2x-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，构造函数F（x）=（x-1）e^-x+2x-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$，导数法判单调性求最值可证不等式．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+x-2lnx，x＞0，
∴$f'（x）=x+1-\frac{2}{x}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x}=\frac{（x-1）（x+2）}{x}$，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）在单调递减，在（1，+∞）在单调递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x-2lnx≥\frac{3}{2}$，∴$2lnx≤\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}$，
故$（x-1）（{e^{-x}}-x）+2lnx≤（x-1）（{e^{-x}}-x）+\frac{1}{2}{x^2}+x-\frac{3}{2}=（x-1）{e^{-x}}+2x-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$，
记$F（x）=（x-1）{e^{-x}}+2x-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}$=$\frac{x-1}{e^x}+2x-\frac{1}{2}{x^2}-\frac{3}{2}（x＞0）$
则$F'（x）=\frac{{1-（x-1）{e^x}}}{e^x}+2-x=\frac{{（2-x）（1+{e^x}）}}{e^x}$，
当0＜x＜2时，F′（x）＞0，当x＞2时，F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，2）在单调递增，在（2，+∞）在单调递减，
∴$F{（x）_{max}}=F（2）={e^{-2}}+\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}$，∴$（x-1）（{e^{-x}}-x）+2lnx＜\frac{2}{3}$，
故原命题得证．

点评 本题考查导数法研究函数的最值和证明不等式，合理构造函数来证明不等式是解决问题的关键，属难题．